大阪市立大学
2014年 理系 第4問
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座標空間内に$4$点$\mathrm{A}(0,\ -1,\ 0)$,$\mathrm{B}(2,\ t,\ 1-t)$,$\mathrm{C}(0,\ s,\ -1)$,$\mathrm{D}(3,\ 2,\ 1)$がある.ただし,$t$と$s$は実数で$t>-1$をみたし,また$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$は垂直であるとする.次の問いに答えよ.
(1) $s$を$t$を用いて表せ.
(2) $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$,$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$の両方に垂直で大きさが$1$のベクトル$\overrightarrow{n}=(p,\ q,\ r)$のうち$p>0$となるものを$t$を用いて表せ.
(3) $4$点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$,$\mathrm{D}$が同一平面に含まれるための必要十分条件は,$\displaystyle t=-\frac{1}{3}$または$t=1$であることを証明せよ.
(1) $s$を$t$を用いて表せ.
(2) $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$,$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$の両方に垂直で大きさが$1$のベクトル$\overrightarrow{n}=(p,\ q,\ r)$のうち$p>0$となるものを$t$を用いて表せ.
(3) $4$点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$,$\mathrm{D}$が同一平面に含まれるための必要十分条件は,$\displaystyle t=-\frac{1}{3}$または$t=1$であることを証明せよ.
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