同志社大学
2014年 理工学部 第4問
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![Oを原点とする座標平面において,曲線C_1:y=logx+logtと曲線C_2:y=ax^2を考える.ただしaとtは正の実数である.曲線C_1とC_2は共有点Pを持ち,また,PにおけるC_1とC_2の接線が一致するものとする.次の問いに答えよ.(1)Pのx座標をx_0とする.x_0,a,tの間に成立する関係式を書け.(2)x_0とaをそれぞれtを用いて表せ.(3)PにおけるC_2の法線をℓとする.また,ℓとx軸の交点をQ,ℓとy軸の交点をRとする.△OQRの面積S(t)を求め,また,S(t)を最小とするtの値を求めよ.(4)tが(3)で求めた値のとき,曲線C_1,C_2とx軸が囲む図形の面積を求めよ.](./thumb/496/2932/2014_4.png)
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$\mathrm{O}$を原点とする座標平面において,曲線$C_1:y=\log x+\log t$と曲線$C_2:y=ax^2$を考える.ただし$a$と$t$は正の実数である.曲線$C_1$と$C_2$は共有点$\mathrm{P}$を持ち,また,$\mathrm{P}$における$C_1$と$C_2$の接線が一致するものとする.次の問いに答えよ.
(1) $\mathrm{P}$の$x$座標を$x_0$とする.$x_0,\ a,\ t$の間に成立する関係式を書け.
(2) $x_0$と$a$をそれぞれ$t$を用いて表せ.
(3) $\mathrm{P}$における$C_2$の法線を$\ell$とする.また,$\ell$と$x$軸の交点を$\mathrm{Q}$,$\ell$と$y$軸の交点を$\mathrm{R}$とする.$\triangle \mathrm{OQR}$の面積$S(t)$を求め,また,$S(t)$を最小とする$t$の値を求めよ.
(4) $t$が$(3)$で求めた値のとき,曲線$C_1$,$C_2$と$x$軸が囲む図形の面積を求めよ.
(1) $\mathrm{P}$の$x$座標を$x_0$とする.$x_0,\ a,\ t$の間に成立する関係式を書け.
(2) $x_0$と$a$をそれぞれ$t$を用いて表せ.
(3) $\mathrm{P}$における$C_2$の法線を$\ell$とする.また,$\ell$と$x$軸の交点を$\mathrm{Q}$,$\ell$と$y$軸の交点を$\mathrm{R}$とする.$\triangle \mathrm{OQR}$の面積$S(t)$を求め,また,$S(t)$を最小とする$t$の値を求めよ.
(4) $t$が$(3)$で求めた値のとき,曲線$C_1$,$C_2$と$x$軸が囲む図形の面積を求めよ.
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