会津大学
2015年 コンピュータ理工 第3問
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![座標空間の4点O(0,0,0)，A(1,1,1)，B(-1,2,0)，C(-1,1,-1)を頂点とする四面体がある．辺AB上の点P，辺AC上の点Qが，AP:PB=CQ:QA=t:(1-t),0≦t≦1をみたすとき，以下の空欄をうめよ．(1)ベクトルOP・ベクトルOQをtを用いて表すとベクトルOP・ベクトルOQ=[イ]である．(2)ベクトルOP・ベクトルOQは，t=[ロ]のとき，最大値[ハ]をとる．(3)ベクトルOP⊥ベクトルOQのとき，t=[ニ]である．](./thumb/78/2184/2015_3.png)
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座標空間の$4$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(1,\ 1,\ 1)$，$\mathrm{B}(-1,\ 2,\ 0)$，$\mathrm{C}(-1,\ 1,\ -1)$を頂点とする四面体がある．辺$\mathrm{AB}$上の点$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{AC}$上の点$\mathrm{Q}$が，
\[ \mathrm{AP}:\mathrm{PB}=\mathrm{CQ}:\mathrm{QA}=t:(1-t),\quad 0 \leqq t \leqq 1 \]
をみたすとき，以下の空欄をうめよ．
(1) $\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$t$を用いて表すと \[ \overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\fbox{イ} \] である．
(2) $\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}$は，$t=\fbox{ロ}$のとき，最大値$\fbox{ハ}$をとる．
(3) $\overrightarrow{\mathrm{OP}} \perp \overrightarrow{\mathrm{OQ}}$のとき，$t=\fbox{ニ}$である．
(1) $\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$t$を用いて表すと \[ \overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\fbox{イ} \] である．
(2) $\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}$は，$t=\fbox{ロ}$のとき，最大値$\fbox{ハ}$をとる．
(3) $\overrightarrow{\mathrm{OP}} \perp \overrightarrow{\mathrm{OQ}}$のとき，$t=\fbox{ニ}$である．
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