京都工芸繊維大学
2011年 工芸科学 第2問
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![Oを原点とするxy平面上を動く点Pの時刻tにおける座標(x,y)がx=(1+t^2)cost,y=(1+t^2)sintで与えられている.時刻tにおけるPの速度をベクトルvとし,2つのベクトルベクトルOP,ベクトルvのなす角をθとする.ただし,0≦θ≦πである.(1)時刻tにおいて,ベクトルベクトルa=(cost,sint),ベクトルb=(-sint,cost)と実数c,dがベクトルv=cベクトルa+dベクトルbを満たすとき,c,dをtを用いて表せ.(2)t>0のとき,tanθをtを用いて表せ.(3)t>0におけるθの最小値を求めよ.](./thumb/474/2608/2011_2.png)
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Oを原点とする$xy$平面上を動く点Pの時刻$t$における座標$(x,\ y)$が
\[ x=(1+t^2)\cos t,\quad y=(1+t^2)\sin t \]
で与えられている.時刻$t$におけるPの速度を$\overrightarrow{v}$とし,2つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$,$\overrightarrow{v}$のなす角を$\theta$とする.ただし,$0 \leqq \theta \leqq \pi$である.
(1) 時刻$t$において,ベクトル$\overrightarrow{a}=(\cos t,\ \sin t),\ \overrightarrow{b}=(-\sin t,\ \cos t)$と実数$c,\ d$が$\overrightarrow{v}=c \overrightarrow{a}+d \overrightarrow{b}$を満たすとき,$c,\ d$を$t$を用いて表せ.
(2) $t>0$のとき,$\tan \theta$を$t$を用いて表せ.
(3) $t>0$における$\theta$の最小値を求めよ.
(1) 時刻$t$において,ベクトル$\overrightarrow{a}=(\cos t,\ \sin t),\ \overrightarrow{b}=(-\sin t,\ \cos t)$と実数$c,\ d$が$\overrightarrow{v}=c \overrightarrow{a}+d \overrightarrow{b}$を満たすとき,$c,\ d$を$t$を用いて表せ.
(2) $t>0$のとき,$\tan \theta$を$t$を用いて表せ.
(3) $t>0$における$\theta$の最小値を求めよ.
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