佐賀大学
2012年 理工学部 第2問
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![0以上の整数nに対して,f_n(x)=\frac{x^ne^{-x}}{n!}とおく.ただし,0!=1とし,eは自然対数の底とする.次の問いに答えよ.(1)n≧1のとき,f_n(x)の導関数をf_n(x),f_{n-1}(x)を用いて表せ.(2)Σ_{k=0}^nf_k(x)の導関数を求めよ.(3)∫_0^1f_n(x)dxを求めよ.(4)e>Σ_{k=0}^n1/k!を示せ.](./thumb/711/2923/2012_2.png)
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$0$以上の整数$n$に対して,$\displaystyle f_n(x)=\frac{x^ne^{-x}}{n!}$とおく.ただし,$0!=1$とし,$e$は自然対数の底とする.次の問いに答えよ.
(1) $n \geqq 1$のとき,$f_n(x)$の導関数を$f_n(x),\ f_{n-1}(x)$を用いて表せ.
(2) $\displaystyle \sum_{k=0}^n f_k(x)$の導関数を求めよ.
(3) $\displaystyle \int_0^1 f_n(x) \, dx$を求めよ.
(4) $\displaystyle e>\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}$を示せ.
(1) $n \geqq 1$のとき,$f_n(x)$の導関数を$f_n(x),\ f_{n-1}(x)$を用いて表せ.
(2) $\displaystyle \sum_{k=0}^n f_k(x)$の導関数を求めよ.
(3) $\displaystyle \int_0^1 f_n(x) \, dx$を求めよ.
(4) $\displaystyle e>\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}$を示せ.
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