山形大学
2013年 理学部(数理) 第3問
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$n$を$2$以上の自然数とする.このとき,次の問に答えよ.
(1) $\displaystyle \int_1^n \log x \, dx$を求めよ.
(2) 関数$y=\log x$の定積分を利用して,次の不等式を証明せよ. \[ (n-1)! \leqq n^n e^{-n+1} \leqq n! \]
(3) 極限値 \[ \lim_{n \to \infty}\frac{\log (n!)}{n \log n} \] を求めよ.
(1) $\displaystyle \int_1^n \log x \, dx$を求めよ.
(2) 関数$y=\log x$の定積分を利用して,次の不等式を証明せよ. \[ (n-1)! \leqq n^n e^{-n+1} \leqq n! \]
(3) 極限値 \[ \lim_{n \to \infty}\frac{\log (n!)}{n \log n} \] を求めよ.
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