首都大学東京
2010年 都市教養(文系) 第2問
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原点をOとする座標平面上のベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$は$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=\sqrt{17},\ |\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=\sqrt{10}$を満たし,$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角$\theta$が$\displaystyle \cos \theta =- \frac{13}{\sqrt{170}}$を満たしている.ベクトル$\overrightarrow{u},\ \overrightarrow{v}$を$\displaystyle \overrightarrow{u} = \frac{\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}}{2},\ \overrightarrow{v}=\frac{\overrightarrow{\mathrm{OA}}-\overrightarrow{\mathrm{OB}}}{2}$で定める.このとき,以下の問いに答えなさい.
(1) 長さ$|\overrightarrow{u}|,\ |\overrightarrow{v}|$と内積$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}$を求めなさい.
(2) 実数$t$に対して$\overrightarrow{\mathrm{OP}} = t \overrightarrow{u}+(1-t)\overrightarrow{v}$とおく.長さ$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$を最小にする$t$の値を求めなさい.また,そのときの長さ$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$を求めなさい.
(1) 長さ$|\overrightarrow{u}|,\ |\overrightarrow{v}|$と内積$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}$を求めなさい.
(2) 実数$t$に対して$\overrightarrow{\mathrm{OP}} = t \overrightarrow{u}+(1-t)\overrightarrow{v}$とおく.長さ$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$を最小にする$t$の値を求めなさい.また,そのときの長さ$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$を求めなさい.
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