広島大学
2014年 理系 第1問
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$a,\ b$を実数,$a>0$として,行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & 2 \\
-2 & b
\end{array} \right)$の定める$1$次変換を$f$とする.$f$によって,点$\mathrm{P}(1,\ 0)$が点$\mathrm{P}_1$に移され,点$\mathrm{P}_1$が点$\mathrm{P}_2$に移されるものとする.$\mathrm{P}$が線分$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$の中点であるとき,次の問いに答えよ.
(1) $a,\ b$を求めよ.
(2) ある実数$c$に対して$c \overrightarrow{\mathrm{OP}}+\overrightarrow{\mathrm{OP}}_1=(v_1,\ v_2)$とすると, \[ A \left( \begin{array}{c} v_1 \\ v_2 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} v_1 \\ v_2 \end{array} \right) \] が成り立つ.$c$を求めよ.
(3) $\overrightarrow{\mathrm{PP}}_1=(w_1,\ w_2)$とする.すべての自然数$n$に対して \[ A^n \left( \begin{array}{c} w_1 \\ w_2 \end{array} \right)=(-2)^n \left( \begin{array}{c} w_1 \\ w_2 \end{array} \right) \] が成り立つことを,数学的帰納法によって証明せよ.
(4) $(2)$と$(3)$の$v_1,\ v_2,\ w_1,\ w_2$に対して,$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s(v_1,\ v_2)+t(w_1,\ w_2)$となる実数$s,\ t$を求め,$A^n \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right)$を$n$を用いて表せ.ただし,$n$は自然数である.
(1) $a,\ b$を求めよ.
(2) ある実数$c$に対して$c \overrightarrow{\mathrm{OP}}+\overrightarrow{\mathrm{OP}}_1=(v_1,\ v_2)$とすると, \[ A \left( \begin{array}{c} v_1 \\ v_2 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} v_1 \\ v_2 \end{array} \right) \] が成り立つ.$c$を求めよ.
(3) $\overrightarrow{\mathrm{PP}}_1=(w_1,\ w_2)$とする.すべての自然数$n$に対して \[ A^n \left( \begin{array}{c} w_1 \\ w_2 \end{array} \right)=(-2)^n \left( \begin{array}{c} w_1 \\ w_2 \end{array} \right) \] が成り立つことを,数学的帰納法によって証明せよ.
(4) $(2)$と$(3)$の$v_1,\ v_2,\ w_1,\ w_2$に対して,$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s(v_1,\ v_2)+t(w_1,\ w_2)$となる実数$s,\ t$を求め,$A^n \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right)$を$n$を用いて表せ.ただし,$n$は自然数である.
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