福島県立医科大学
2012年 医学部 第1問
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以下の各問いに答えよ.
(1) 行列$A=\left( \begin{array}{cc} -1 & 2 \\ -6 & 6 \end{array} \right)$,$B=\left( \begin{array}{cc} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{array} \right)$について,$AX=XB$,$X^{-1}=X$を満たす行列$X$をすべて求めよ.
(2) $\mathrm{OC}$と$\mathrm{AB}$が平行である台形$\mathrm{OABC}$があって,$\mathrm{OA}=\mathrm{OC}=\mathrm{BC}=1$,$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$,$\displaystyle \angle \mathrm{AOC}>\frac{\pi}{2}$を満たしているものとする.$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$,$\angle \mathrm{AOC}=\theta$として,以下の問いに答えよ.
(ⅰ) $\cos \theta$の値を求めよ.また,$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{c}$を用いて表せ.
(ⅱ) 点$\mathrm{B}$から対角線$\mathrm{AC}$に垂線を下ろし,垂線と$\mathrm{AC}$との交点を$\mathrm{H}$とする.$\displaystyle \frac{\mathrm{CH}}{\mathrm{AH}}$を求めよ.
(1) 行列$A=\left( \begin{array}{cc} -1 & 2 \\ -6 & 6 \end{array} \right)$,$B=\left( \begin{array}{cc} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{array} \right)$について,$AX=XB$,$X^{-1}=X$を満たす行列$X$をすべて求めよ.
(2) $\mathrm{OC}$と$\mathrm{AB}$が平行である台形$\mathrm{OABC}$があって,$\mathrm{OA}=\mathrm{OC}=\mathrm{BC}=1$,$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$,$\displaystyle \angle \mathrm{AOC}>\frac{\pi}{2}$を満たしているものとする.$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$,$\angle \mathrm{AOC}=\theta$として,以下の問いに答えよ.
(ⅰ) $\cos \theta$の値を求めよ.また,$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{c}$を用いて表せ.
(ⅱ) 点$\mathrm{B}$から対角線$\mathrm{AC}$に垂線を下ろし,垂線と$\mathrm{AC}$との交点を$\mathrm{H}$とする.$\displaystyle \frac{\mathrm{CH}}{\mathrm{AH}}$を求めよ.
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