茨城大学
2013年 理学部 第3問
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$\displaystyle \theta=\frac{2\pi}{3}$とし,$A=\left( \begin{array}{cc}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array} \right)$とおく.また,$2$次の単位行列を$E$で表す.以下の各問に答えよ.
(1) $A^3=E$を示せ.
(2) $r$を実数とする.自然数$k$に対して,行列$(rA)^{3k}+(rA)^{3k+1}+(rA)^{3k+2}$の$(1,\ 1)$成分を$a_k$とおくとき,$a_k$を$r$を用いて表せ.
(3) 自然数$N$に対して$\displaystyle x_N=2 \sum_{k=0}^N a_k$とする.ただし$a_k$は,$k \geqq 1$のときは(2)で定めたものとし,$k=0$のときは$\displaystyle a_0=1-\frac{1}{2}r-\frac{1}{2}r^2$とおく.$-1<r<1$のとき,$\displaystyle f(r)=\lim_{N \to \infty}x_N$を求めよ.
(4) $r$が$-1<r<1$の範囲を動くとき,(3)で定めた$f(r)$のとりうる値の範囲を求めよ.
(1) $A^3=E$を示せ.
(2) $r$を実数とする.自然数$k$に対して,行列$(rA)^{3k}+(rA)^{3k+1}+(rA)^{3k+2}$の$(1,\ 1)$成分を$a_k$とおくとき,$a_k$を$r$を用いて表せ.
(3) 自然数$N$に対して$\displaystyle x_N=2 \sum_{k=0}^N a_k$とする.ただし$a_k$は,$k \geqq 1$のときは(2)で定めたものとし,$k=0$のときは$\displaystyle a_0=1-\frac{1}{2}r-\frac{1}{2}r^2$とおく.$-1<r<1$のとき,$\displaystyle f(r)=\lim_{N \to \infty}x_N$を求めよ.
(4) $r$が$-1<r<1$の範囲を動くとき,(3)で定めた$f(r)$のとりうる値の範囲を求めよ.
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