名古屋市立大学
2012年 芸術工学部 第3問
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![2つのベクトルをベクトルa=(2,1),ベクトルb=(1,3)とおく.平面上の任意のベクトルベクトルw=(x,y)をベクトルw=kベクトルa+lベクトルbと表すとき,次の問いに答えよ.(1)k,lをx,yで表せ.(2)(1)のk,lに対して,点W(ベクトルw)を点U(kベクトルa)へ移す変換をf,点W(ベクトルw)を点V(lベクトルb)へ移す変換をgとするとき,2つの変換f,gを表す行列P,Qを求めよ.(3)行列PQ,QP,P^2,Q^2を求めよ.(4)行列RがR=sP+tQと表されるとき,自然数nに対してR^nを類推し,それが正しいことを数学的帰納法で証明せよ.ただし,s,tは実数とする.](./thumb/415/1101/2012_3.png)
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$2$つのベクトルを$\overrightarrow{a}=(2,\ 1)$,$\overrightarrow{b}=(1,\ 3)$とおく.平面上の任意のベクトル$\overrightarrow{w}=(x,\ y)$を$\overrightarrow{w}=k \overrightarrow{a}+l \overrightarrow{b}$と表すとき,次の問いに答えよ.
(1) $k,\ l$を$x,\ y$で表せ.
(2) $(1)$の$k,\ l$に対して,点$\mathrm{W}(\overrightarrow{w})$を点$\mathrm{U}(k \overrightarrow{a})$へ移す変換を$f$,点$\mathrm{W}(\overrightarrow{w})$を点$\mathrm{V}(l \overrightarrow{b})$へ移す変換を$g$とするとき,$2$つの変換$f,\ g$を表す行列$P,\ Q$を求めよ.
(3) 行列$PQ$,$QP$,$P^2$,$Q^2$を求めよ.
(4) 行列$R$が$R=sP+tQ$と表されるとき,自然数$n$に対して$R^n$を類推し,それが正しいことを数学的帰納法で証明せよ.ただし,$s,\ t$は実数とする.
(1) $k,\ l$を$x,\ y$で表せ.
(2) $(1)$の$k,\ l$に対して,点$\mathrm{W}(\overrightarrow{w})$を点$\mathrm{U}(k \overrightarrow{a})$へ移す変換を$f$,点$\mathrm{W}(\overrightarrow{w})$を点$\mathrm{V}(l \overrightarrow{b})$へ移す変換を$g$とするとき,$2$つの変換$f,\ g$を表す行列$P,\ Q$を求めよ.
(3) 行列$PQ$,$QP$,$P^2$,$Q^2$を求めよ.
(4) 行列$R$が$R=sP+tQ$と表されるとき,自然数$n$に対して$R^n$を類推し,それが正しいことを数学的帰納法で証明せよ.ただし,$s,\ t$は実数とする.
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