福岡教育大学
2010年 初等教育 第2問
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![次の問いに答えよ．(1)恒等式1/2(x+y+z){(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2}=x^3+y^3+z^3-3xyzが成り立つことを示せ．(2)a≧0,b≧0,c≧0のとき，\frac{a+b+c}{3}≧\sqrt[3]{abc}が成り立つことを示せ．また，等号が成り立つのはa=b=cのときであることを示せ．(3)一辺の長さがそれぞれa,b,cの三角形の面積は\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}で与えられることが知られている．ただし，s=\frac{a+b+c}{2}とする．三辺の長さの和が2s(s＞0)であるような三角形の面積は\frac{s^2}{3√3}以下であることを示せ．また，面積が\frac{s^2}{3√3}となるのは，三角形が正三角形のときであることを示せ．](./thumb/679/3139/2010_2.png)
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次の問いに答えよ．
(1) 恒等式$\displaystyle \frac{1}{2}(x+y+z)\{(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2\}=x^3+y^3+z^3-3xyz$が成り立つことを示せ．
(2) $a \geqq 0,\ b \geqq 0,\ c \geqq 0$のとき，$\displaystyle \frac{a+b+c}{3} \geqq \sqrt[3]{abc}$が成り立つことを示せ．また，等号が成り立つのは$a=b=c$のときであることを示せ．
(3) 一辺の長さがそれぞれ$a,\ b,\ c$の三角形の面積は$\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$で与えられることが知られている．ただし，$\displaystyle s=\frac{a+b+c}{2}$とする．三辺の長さの和が$2s \ (s>0)$であるような三角形の面積は$\displaystyle \frac{s^2}{3 \sqrt{3}}$以下であることを示せ．また，面積が$\displaystyle \frac{s^2}{3 \sqrt{3}}$となるのは，三角形が正三角形のときであることを示せ．
(1) 恒等式$\displaystyle \frac{1}{2}(x+y+z)\{(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2\}=x^3+y^3+z^3-3xyz$が成り立つことを示せ．
(2) $a \geqq 0,\ b \geqq 0,\ c \geqq 0$のとき，$\displaystyle \frac{a+b+c}{3} \geqq \sqrt[3]{abc}$が成り立つことを示せ．また，等号が成り立つのは$a=b=c$のときであることを示せ．
(3) 一辺の長さがそれぞれ$a,\ b,\ c$の三角形の面積は$\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$で与えられることが知られている．ただし，$\displaystyle s=\frac{a+b+c}{2}$とする．三辺の長さの和が$2s \ (s>0)$であるような三角形の面積は$\displaystyle \frac{s^2}{3 \sqrt{3}}$以下であることを示せ．また，面積が$\displaystyle \frac{s^2}{3 \sqrt{3}}$となるのは，三角形が正三角形のときであることを示せ．
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コメント（1件）
2015-11-05 18:27:19
解答くださいm(._.)m |
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