大阪府立大学
2011年 工学域(中期) 第4問
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行列$A$を$A=\biggl( \begin{array}{rr}
3 & 1 \\
-1 & 1
\end{array} \biggr)$とし,また,行列$B$を
\[ B=A+t \biggl( \begin{array}{cc}
1 & 1 \\
0 & 0
\end{array} \biggr) \]
とする.ただし,$t$は0でない実数とする.このとき,次の問いに答えよ.
(1) $A \biggl( \begin{array}{c} x_1 \\ 1 \end{array} \biggr)=k_1 \biggl( \begin{array}{c} x_1 \\ 1 \end{array} \biggr)$を満たす実数$k_1$および$x_1$の値を求めよ.
(2) $B \biggl( \begin{array}{c} x_2 \\ 1 \end{array} \biggr)=k_2 \biggl( \begin{array}{c} x_2 \\ 1 \end{array} \biggr)$を満たす実数$k_2$および$x_2$を$t$を用いて表せ.ただし,$k_2$は(1)で求めた$k_1$とは異なるものとする.
(3) $n$を自然数とする.(1)で求めた$x_1$と(2)で求めた$x_2$に対して,$B^n \biggl( \begin{array}{cc} x_1 & x_2 \\ 1 & 1 \end{array} \biggr)$を$t$と$n$を用いて表せ.
(4) 自然数$n$に対して,$B^n$の$(1,\ 1)$成分を$b_n(t)$とするとき,$\displaystyle \lim_{t \to 0}b_n(t)$を$n$を用いて表せ.
(1) $A \biggl( \begin{array}{c} x_1 \\ 1 \end{array} \biggr)=k_1 \biggl( \begin{array}{c} x_1 \\ 1 \end{array} \biggr)$を満たす実数$k_1$および$x_1$の値を求めよ.
(2) $B \biggl( \begin{array}{c} x_2 \\ 1 \end{array} \biggr)=k_2 \biggl( \begin{array}{c} x_2 \\ 1 \end{array} \biggr)$を満たす実数$k_2$および$x_2$を$t$を用いて表せ.ただし,$k_2$は(1)で求めた$k_1$とは異なるものとする.
(3) $n$を自然数とする.(1)で求めた$x_1$と(2)で求めた$x_2$に対して,$B^n \biggl( \begin{array}{cc} x_1 & x_2 \\ 1 & 1 \end{array} \biggr)$を$t$と$n$を用いて表せ.
(4) 自然数$n$に対して,$B^n$の$(1,\ 1)$成分を$b_n(t)$とするとき,$\displaystyle \lim_{t \to 0}b_n(t)$を$n$を用いて表せ.
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