長崎大学
2014年 歯学・工学部 第2問
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![1から2nまでの偶数の平方の和をa_n,奇数の平方の和をb_nとする.すなわちa_n=2^2+4^2+・・・+(2n)^2,b_n=1^2+3^2+・・・+(2n-1)^2である.なお,1からnまでの自然数の平方の和については1^2+2^2+・・・+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}が成り立つ.次の問いに答えよ.(1)偶数の平方の和2^2+4^2+・・・+20^2と奇数の平方の和1^2+3^2+・・・+19^2を求めよ.(2)a_nとb_nを求めよ.(3)\frac{1}{a_n}-\frac{3}{2n(2n+1)}および\frac{1}{b_n}+\frac{3}{2n(2n+1)}を計算せよ.(4)c_n=\frac{1}{a_n}+\frac{1}{b_n}とするとき,S_n=c_1+c_2+・・・+c_nを求めよ.](./thumb/713/2947/2014_2.png)
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$1$から$2n$までの偶数の平方の和を$a_n$,奇数の平方の和を$b_n$とする.すなわち
\[ a_n=2^2+4^2+\cdots +(2n)^2,\quad b_n=1^2+3^2+\cdots +(2n-1)^2 \]
である.なお,$1$から$n$までの自然数の平方の和については
\[ 1^2+2^2+\cdots +n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \]
が成り立つ.次の問いに答えよ.
(1) 偶数の平方の和$2^2+4^2+\cdots +20^2$と奇数の平方の和$1^2+3^2+\cdots +19^2$を求めよ.
(2) $a_n$と$b_n$を求めよ.
(3) $\displaystyle \frac{1}{a_n}-\frac{3}{2n(2n+1)}$および$\displaystyle \frac{1}{b_n}+\frac{3}{2n(2n+1)}$を計算せよ.
(4) $\displaystyle c_n=\frac{1}{a_n}+\frac{1}{b_n}$とするとき,$S_n=c_1+c_2+\cdots +c_n$を求めよ.
(1) 偶数の平方の和$2^2+4^2+\cdots +20^2$と奇数の平方の和$1^2+3^2+\cdots +19^2$を求めよ.
(2) $a_n$と$b_n$を求めよ.
(3) $\displaystyle \frac{1}{a_n}-\frac{3}{2n(2n+1)}$および$\displaystyle \frac{1}{b_n}+\frac{3}{2n(2n+1)}$を計算せよ.
(4) $\displaystyle c_n=\frac{1}{a_n}+\frac{1}{b_n}$とするとき,$S_n=c_1+c_2+\cdots +c_n$を求めよ.
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