静岡大学
2016年 理学部(数) 第3問
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![次の各問に答えよ.(1)x>1のときlogx<2√x-2を示し,これを用いて\lim_{x→∞}\frac{logx}{x}を求めよ.ただし,logは自然対数を表す.(2)関数y=\frac{logx}{x}(x>0)の増減,凹凸を調べ,そのグラフの概形をかけ.(3)定積分I_n(n=1,2,3,・・・)を以下で定義する.I_n=∫_1^e\frac{(logx)^{n-1}}{x^2}dxただし,eは自然対数の底である.このとき,次の等式が成り立つことを示せ.I_{n+1}=-1/e+nI_n(n=1,2,3,・・・)・・・(*)(4)等式(*)を用いて,関数y=\frac{logx}{x}のグラフとx軸および直線x=eで囲まれた図形を,x軸のまわりに1回転してできる回転体の体積を求めよ.](./thumb/396/1404/2016_3.png)
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次の各問に答えよ.
(1) $x>1$のとき$\log x<2 \sqrt{x}-2$を示し,これを用いて$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x}$を求めよ.ただし,$\log$は自然対数を表す.
(2) 関数$\displaystyle y=\frac{\log x}{x} \ \ (x>0)$の増減,凹凸を調べ,そのグラフの概形をかけ.
(3) 定積分$I_n \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を以下で定義する. \[ I_n=\int_1^e \frac{(\log x)^{n-1}}{x^2} \, dx \] ただし,$e$は自然対数の底である.このとき,次の等式が成り立つことを示せ. \[ I_{n+1}=-\frac{1}{e}+nI_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \quad \cdots \quad (\ast) \]
(4) 等式$(\ast)$を用いて,関数$\displaystyle y=\frac{\log x}{x}$のグラフと$x$軸および直線$x=e$で囲まれた図形を,$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ.
(1) $x>1$のとき$\log x<2 \sqrt{x}-2$を示し,これを用いて$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x}$を求めよ.ただし,$\log$は自然対数を表す.
(2) 関数$\displaystyle y=\frac{\log x}{x} \ \ (x>0)$の増減,凹凸を調べ,そのグラフの概形をかけ.
(3) 定積分$I_n \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を以下で定義する. \[ I_n=\int_1^e \frac{(\log x)^{n-1}}{x^2} \, dx \] ただし,$e$は自然対数の底である.このとき,次の等式が成り立つことを示せ. \[ I_{n+1}=-\frac{1}{e}+nI_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \quad \cdots \quad (\ast) \]
(4) 等式$(\ast)$を用いて,関数$\displaystyle y=\frac{\log x}{x}$のグラフと$x$軸および直線$x=e$で囲まれた図形を,$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ.
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