広島大学
2015年 理系 第1問
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座標平面上の点$\mathrm{P}(1,\ 1)$を中心とし,原点$\mathrm{O}$を通る円を$C_1$とする.$k$を正の定数として,曲線$\displaystyle y=\frac{k}{x} \ \ (x>0)$を$C_2$とする.$C_1$と$C_2$は$2$点で交わるとし,その交点を$\mathrm{Q}$,$\mathrm{R}$とするとき,直線$\mathrm{PQ}$は$x$軸に平行であるとする.点$\mathrm{Q}$の$x$座標を$q$とし,点$\mathrm{R}$の$x$座標を$r$とする.次の問いに答えよ.
(1) $k,\ q,\ r$の値を求めよ.
(2) 曲線$C_2$と線分$\mathrm{OQ}$,$\mathrm{OR}$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ.
(3) $x=1+\sqrt{2} \sin \theta$とおくことにより,定積分$\displaystyle \int_r^q \sqrt{2-(x-1)^2} \, dx$の値を求めよ.
(4) 円$C_1$の原点$\mathrm{O}$を含まない弧$\mathrm{QR}$と曲線$C_2$で囲まれた図形を,$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積$V$を求めよ.
(1) $k,\ q,\ r$の値を求めよ.
(2) 曲線$C_2$と線分$\mathrm{OQ}$,$\mathrm{OR}$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ.
(3) $x=1+\sqrt{2} \sin \theta$とおくことにより,定積分$\displaystyle \int_r^q \sqrt{2-(x-1)^2} \, dx$の値を求めよ.
(4) 円$C_1$の原点$\mathrm{O}$を含まない弧$\mathrm{QR}$と曲線$C_2$で囲まれた図形を,$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積$V$を求めよ.
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コメント(2件)
2015-11-18 22:05:30
(1)では図形C1とC2は共に直線y=xに関して対称であることを利用しましょう。よって2交点Q,Rもy=xに関して対称な点なので、Qを求めるとRはQのx座標とy座標が入れ替わった点です。(2)面積を求める問題では時として、余分に大きい図形の面積を求めて余分を後から引き算する方法が有効です。 |
2015-11-15 12:24:46
解答お願いします! |
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