横浜市立大学
2012年 医学部 第1問
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以下の問いに答えよ.
(1) $a$を正の定数として,関数$f(x)$を$f(x)=\log (\sqrt{a^2+x^2}-x)$とおく.$f(x)$を微分して,多項式 \[ f(0)+f^\prime(0)x+\frac{f^{\prime\prime}(0)}{2!}x^2+\frac{f^{\prime\prime\prime}(0)}{3!}x^3 \] を求めよ.
(2) 座標平面において,曲線$\displaystyle C:y=\sin x \ \ \left( 0<x<\frac{\pi}{2} \right)$上の点$\mathrm{P}(a,\ \sin a)$における$C$の法線が$x$軸と交わる点を$\mathrm{Q}$とする.線分$\mathrm{PQ}$を直径とする円が,$x$軸と交わる$\mathrm{Q}$以外の点を$\mathrm{R}$とする.このとき,三角形$\mathrm{PQR}$の面積$S(a)$を求めよ.次に,$a$が動くとき,$S(a)$の最大値を求めよ. \imgc{308_2359_2012_1}
(3) 数列$\{a_n\}$ \[ 1,\ \frac{1}{2},\ \frac{2}{1},\ \frac{1}{3},\ \frac{2}{2},\ \frac{3}{1},\ \frac{1}{4},\ \frac{2}{3},\ \frac{3}{2},\ \frac{4}{1},\ \cdots \] を次のような群に分け,第$m$群には$m$個の数が入るようにする.
$\displaystyle \sitabrace{\frac{1}{1}}_{第1群} \ \bigg| \ \sitabrace{\frac{1}{2},\ \frac{2}{1}}_{第2群} \ \bigg| \ \sitabrace{\frac{1}{3},\ \frac{2}{2},\ \frac{3}{1}}_{第3群} \ \bigg| \ \sitabrace{\frac{1}{4},\ \frac{2}{3},\ \frac{3}{2},\ \frac{4}{1}}_{第4群} \ \bigg| \ ,\ \cdots ,\ $
$\displaystyle \hfill \bigg| \ \sitabrace{\frac{1}{m},\ \frac{2}{m-1},\ \cdots ,\ \frac{m-1}{2},\ \frac{m}{1}}_{第m群} \ \bigg| \ ,\ \cdots$
このとき,数列$\{a_n\}$において,$\displaystyle \frac{q}{p}$は第何項か.ただし,$\displaystyle \frac{q}{p}$は,例えば$\displaystyle \frac{2}{4}=\frac{1}{2}$のように,約分しないものとする.次に,第$100$項$a_{100}$を求めよ.
(4) $2$次の正方行列$A$が \[ A \left( \begin{array}{c} 3 \\ 2 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right),\quad A \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} 3 \\ 2 \end{array} \right) \] をみたすとする.このとき,自然数$n$に対して$A^n \left( \begin{array}{c} 5 \\ 3 \end{array} \right)$を求めよ.
(5) $\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$,$\mathrm{BC}$の長さが$1$,$\angle \mathrm{A}$が$\displaystyle \frac{\pi}{5}$の二等辺三角形$\mathrm{ABC}$を考える.頂点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$から$\angle \mathrm{A}$,$\angle \mathrm{B}$,$\angle \mathrm{C}$の二等分線を引き,対応する辺との交点を,それぞれ$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$,$\mathrm{R}$とする.このとき,三角関数の値 \[ \sin \left( \frac{\pi}{10} \right) \] を求めよ. \imgc{308_2359_2012_2}
(1) $a$を正の定数として,関数$f(x)$を$f(x)=\log (\sqrt{a^2+x^2}-x)$とおく.$f(x)$を微分して,多項式 \[ f(0)+f^\prime(0)x+\frac{f^{\prime\prime}(0)}{2!}x^2+\frac{f^{\prime\prime\prime}(0)}{3!}x^3 \] を求めよ.
(2) 座標平面において,曲線$\displaystyle C:y=\sin x \ \ \left( 0<x<\frac{\pi}{2} \right)$上の点$\mathrm{P}(a,\ \sin a)$における$C$の法線が$x$軸と交わる点を$\mathrm{Q}$とする.線分$\mathrm{PQ}$を直径とする円が,$x$軸と交わる$\mathrm{Q}$以外の点を$\mathrm{R}$とする.このとき,三角形$\mathrm{PQR}$の面積$S(a)$を求めよ.次に,$a$が動くとき,$S(a)$の最大値を求めよ. \imgc{308_2359_2012_1}
(3) 数列$\{a_n\}$ \[ 1,\ \frac{1}{2},\ \frac{2}{1},\ \frac{1}{3},\ \frac{2}{2},\ \frac{3}{1},\ \frac{1}{4},\ \frac{2}{3},\ \frac{3}{2},\ \frac{4}{1},\ \cdots \] を次のような群に分け,第$m$群には$m$個の数が入るようにする.
$\displaystyle \sitabrace{\frac{1}{1}}_{第1群} \ \bigg| \ \sitabrace{\frac{1}{2},\ \frac{2}{1}}_{第2群} \ \bigg| \ \sitabrace{\frac{1}{3},\ \frac{2}{2},\ \frac{3}{1}}_{第3群} \ \bigg| \ \sitabrace{\frac{1}{4},\ \frac{2}{3},\ \frac{3}{2},\ \frac{4}{1}}_{第4群} \ \bigg| \ ,\ \cdots ,\ $
$\displaystyle \hfill \bigg| \ \sitabrace{\frac{1}{m},\ \frac{2}{m-1},\ \cdots ,\ \frac{m-1}{2},\ \frac{m}{1}}_{第m群} \ \bigg| \ ,\ \cdots$
このとき,数列$\{a_n\}$において,$\displaystyle \frac{q}{p}$は第何項か.ただし,$\displaystyle \frac{q}{p}$は,例えば$\displaystyle \frac{2}{4}=\frac{1}{2}$のように,約分しないものとする.次に,第$100$項$a_{100}$を求めよ.
(4) $2$次の正方行列$A$が \[ A \left( \begin{array}{c} 3 \\ 2 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right),\quad A \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} 3 \\ 2 \end{array} \right) \] をみたすとする.このとき,自然数$n$に対して$A^n \left( \begin{array}{c} 5 \\ 3 \end{array} \right)$を求めよ.
(5) $\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$,$\mathrm{BC}$の長さが$1$,$\angle \mathrm{A}$が$\displaystyle \frac{\pi}{5}$の二等辺三角形$\mathrm{ABC}$を考える.頂点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$から$\angle \mathrm{A}$,$\angle \mathrm{B}$,$\angle \mathrm{C}$の二等分線を引き,対応する辺との交点を,それぞれ$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$,$\mathrm{R}$とする.このとき,三角関数の値 \[ \sin \left( \frac{\pi}{10} \right) \] を求めよ. \imgc{308_2359_2012_2}
類題(関連度順)
コメント(2件)
2015-10-17 16:20:37
大問1の(2)の回答を教えてください。 |
2015-09-01 18:00:02
この問題の解答を教えてください。 |
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