鳥取大学
2013年 医(医) 第4問
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![実数tの関数α(t),β(t)をα(t)=\frac{e^t+e^{-t}}{2},β(t)=\frac{e^t-e^{-t}}{2}で定める.実数の定数pに対して点P(x,y)のx座標およびy座標を,複素数z=\frac{ipα(t)+β(t)}{ipβ(t)+α(t)}の実部および虚部でそれぞれ与える.ただしiは虚数単位とする.(1){α(t)}^2-{β(t)}^2=1となることを示し,x,yをtの関数として表せ.(2)点Pのx座標のt→∞およびt→-∞のときの極限値をそれぞれ求めよ.(3)p≠0のとき,点Pの描く曲線をxとyの関係式で表せ.](./thumb/608/2732/2013_4.png)
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実数$t$の関数$\alpha(t),\ \beta(t)$を$\displaystyle \alpha(t)=\frac{e^t+e^{-t}}{2}$,$\displaystyle \beta(t)=\frac{e^t-e^{-t}}{2}$で定める.実数の定数$p$に対して点$\mathrm{P}(x,\ y)$の$x$座標および$y$座標を,複素数
\[ z=\frac{ip \alpha(t)+\beta(t)}{ip \beta(t)+\alpha(t)} \]
の実部および虚部でそれぞれ与える.ただし$i$は虚数単位とする.
(1) $\{\alpha(t)\}^2-\{\beta(t)\}^2=1$となることを示し,$x,\ y$を$t$の関数として表せ.
(2) 点$\mathrm{P}$の$x$座標の$t \to \infty$および$t \to -\infty$のときの極限値をそれぞれ求めよ.
(3) $p \neq 0$のとき,点$\mathrm{P}$の描く曲線を$x$と$y$の関係式で表せ.
(1) $\{\alpha(t)\}^2-\{\beta(t)\}^2=1$となることを示し,$x,\ y$を$t$の関数として表せ.
(2) 点$\mathrm{P}$の$x$座標の$t \to \infty$および$t \to -\infty$のときの極限値をそれぞれ求めよ.
(3) $p \neq 0$のとき,点$\mathrm{P}$の描く曲線を$x$と$y$の関係式で表せ.
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