島根大学
2014年 総合理工(数理・情報システム) 第1問
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$3$つの箱$X,\ Y,\ Z$と$3$つの玉$a,\ b,\ c$があり,$1$つの箱には$1$つの玉が入るとする.箱$X$には$a$が,箱$Y$には$b$が,箱$Z$には$c$が入っている状態から始めて,次の操作を繰り返し行う.
「数字$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の中から無作為に$1$つの数字$m$を選ぶ.$m=1$ならば,箱$Y,\ Z$にある玉をそれぞれ箱$Z,\ Y$に移す.$m=2$ならば,箱$X,\ Z$にある玉をそれぞれ箱$Z,\ X$に移す.$m=3$ならば,箱$X,\ Y$にある玉をそれぞれ箱$Y,\ X$に移す.$m=4$ならば,箱$X,\ Y,\ Z$にある玉をそれぞれ箱$Y,\ Z,\ X$に移す.$m=5$ならば,箱$X,\ Y,\ Z$にある玉をそれぞれ箱$Z,\ X,\ Y$に移す.」
この操作を$n$回繰り返したあとに$3$つの玉が最初の状態に戻っている確率を$p_n$とする.箱$X,\ Y,\ Z$にそれぞれ玉$x,\ y,\ z$が入っている状態を$(x,\ y,\ z)$と表す.たとえば,最初の状態は$(a,\ b,\ c)$である.このとき,次の問いに答えよ.
(1) $1$回目の操作を行ったあとの起こりうる状態をすべて挙げ,$p_1$,$p_2$を求めよ.
(2) $n$回目の操作を行ったあとの状態が最初の状態$(a,\ b,\ c)$となっていない確率を$q_n$とする.$n \geqq 1$のとき,$\displaystyle p_{n+1}=\frac{1}{5}q_n$が成り立つことを示せ.
(3) $p_n$を求めよ.
「数字$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の中から無作為に$1$つの数字$m$を選ぶ.$m=1$ならば,箱$Y,\ Z$にある玉をそれぞれ箱$Z,\ Y$に移す.$m=2$ならば,箱$X,\ Z$にある玉をそれぞれ箱$Z,\ X$に移す.$m=3$ならば,箱$X,\ Y$にある玉をそれぞれ箱$Y,\ X$に移す.$m=4$ならば,箱$X,\ Y,\ Z$にある玉をそれぞれ箱$Y,\ Z,\ X$に移す.$m=5$ならば,箱$X,\ Y,\ Z$にある玉をそれぞれ箱$Z,\ X,\ Y$に移す.」
この操作を$n$回繰り返したあとに$3$つの玉が最初の状態に戻っている確率を$p_n$とする.箱$X,\ Y,\ Z$にそれぞれ玉$x,\ y,\ z$が入っている状態を$(x,\ y,\ z)$と表す.たとえば,最初の状態は$(a,\ b,\ c)$である.このとき,次の問いに答えよ.
(1) $1$回目の操作を行ったあとの起こりうる状態をすべて挙げ,$p_1$,$p_2$を求めよ.
(2) $n$回目の操作を行ったあとの状態が最初の状態$(a,\ b,\ c)$となっていない確率を$q_n$とする.$n \geqq 1$のとき,$\displaystyle p_{n+1}=\frac{1}{5}q_n$が成り立つことを示せ.
(3) $p_n$を求めよ.
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