京都府立大学
2012年 生命環境(環境・情報) 第4問
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![nを自然数とする.整数を成分にもつ行列A=(\begin{array}{cc}a&b\c&d\end{array}),B=(\begin{array}{cc}3&x\y&z\end{array}),E=(\begin{array}{cc}1&0\0&1\end{array})はAB=BA,B^2-3B+2E=Oを満たすとする.ただしx≠yとする.以下の問いに答えよ.(1)a>b>c>d,bc>0かつA^2=18Eのとき,a,b,c,dの値をすべて求めよ.(2)B^n=p_nB+q_nEで定まる数列{p_n},{q_n}の一般項をそれぞれ求めよ.(3)a=3,b=2,c=-4,d=-3のとき,x,y,zの値および(AB)^{2n}を求めよ.](./thumb/476/2692/2012_4.png)
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$n$を自然数とする.整数を成分にもつ行列
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right),\quad B=\left( \begin{array}{cc}
3 & x \\
y & z
\end{array} \right),\quad E=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right) \]
は$AB=BA$,$B^2-3B+2E=O$を満たすとする.ただし$x \neq y$とする.以下の問いに答えよ.
(1) $a>b>c>d$,$bc>0$かつ$A^2=18E$のとき,$a,\ b,\ c,\ d$の値をすべて求めよ.
(2) $B^n=p_nB+q_nE$で定まる数列$\{p_n\}$,$\{q_n\}$の一般項をそれぞれ求めよ.
(3) $a=3$,$b=2$,$c=-4$,$d=-3$のとき,$x,\ y,\ z$の値および$(AB)^{2n}$を求めよ.
(1) $a>b>c>d$,$bc>0$かつ$A^2=18E$のとき,$a,\ b,\ c,\ d$の値をすべて求めよ.
(2) $B^n=p_nB+q_nE$で定まる数列$\{p_n\}$,$\{q_n\}$の一般項をそれぞれ求めよ.
(3) $a=3$,$b=2$,$c=-4$,$d=-3$のとき,$x,\ y,\ z$の値および$(AB)^{2n}$を求めよ.
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