次の$\fbox{}$を適当に補え．
(1) 連続する$4$つの自然数を小さい順に$a,\ b,\ c,\ d$とする．$\displaystyle \frac{ac}{bd}=\frac{5}{8}$のとき，$a=\fbox{}$である．
(2) 袋の中に$0$と書かれたカードが$1$枚，$1$と書かれたカードが$2$枚，$2$と書かれたカードが$3$枚，合わせて$6$枚のカードが入っている．この袋から$1$枚ずつ$4$枚のカードを取り出し，取り出した順に左からカードの数字を書き並べたとき，$2011$となる確率は$\fbox{}$である．また，$1$枚カードを取り出し，カードを袋に戻すことを$4$回くり返した場合，取り出した順に左からカードの数字を書き並べたとき，$2011$となる確率は$\fbox{}$である．
(3) 数列$\{a_n\}$は関係式$a_1=1$，$\displaystyle 2^{a_{n+1}}=\frac{4^{a_n}}{\sqrt{2}} \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$をみたすとする．このとき，$a_3=\fbox{}$であり，$a_n=\fbox{}$である．
(4) $\displaystyle \frac{\pi}{2}<\theta<\pi$において，$\tan \theta=-2$のとき，$\cos^2 \theta=\fbox{}$，$\displaystyle \sin \left( 2\theta+\frac{\pi}{4} \right)=\fbox{}$である．
(5) $2$次方程式$x^2-kx+9=0$が実数解をもつような実数$k$の範囲は$\fbox{}$である．このとき，その実数解を$\alpha,\ \beta$とすると，$(\alpha+1)^2+(\beta+1)^2$の最小値は$\fbox{}$である． 整式$x^3+3x$を$x^2+1$で割った商は$\fbox{}$であり，余りは$\fbox{}$である．また，$\displaystyle \int_0^2 \frac{x^3+3x}{x^2+1} \, dx=\fbox{}$である．