鹿児島大学
2014年 医(医)・理(数理・物理・地環)・工・歯 第5問
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次の各問いに答えよ.
(1) 座標平面上での原点を中心とする${150}^\circ$の回転移動を表す行列を$P$とする.点$(x,\ y)$が$P$の表す移動によって,点$(2,\ 4)$に移ったとする.このとき,点$(x,\ y)$を求めよ.
(2) $(1)$で与えられた行列$P$を考える.$P^n=\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right)$を満たす最小の自然数$n$を求めよ.
(3) 以下の各命題の反例をあげよ.また,反例になっていることを示せ.ただし,$X,\ Y$は$2$次の正方行列とする.
(ⅰ) $XY=YX$が成立する.
(ⅱ) $XY=O$ならば,$X=O$または$Y=O$である.ただし,$O$は$2$次の零行列を表す.
(ⅲ) $A$を逆行列$A^{-1}$をもつ$2$次の正方行列とする.このとき,$AX=Y$ならば,$X=YA^{-1}$である.
(1) 座標平面上での原点を中心とする${150}^\circ$の回転移動を表す行列を$P$とする.点$(x,\ y)$が$P$の表す移動によって,点$(2,\ 4)$に移ったとする.このとき,点$(x,\ y)$を求めよ.
(2) $(1)$で与えられた行列$P$を考える.$P^n=\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right)$を満たす最小の自然数$n$を求めよ.
(3) 以下の各命題の反例をあげよ.また,反例になっていることを示せ.ただし,$X,\ Y$は$2$次の正方行列とする.
(ⅰ) $XY=YX$が成立する.
(ⅱ) $XY=O$ならば,$X=O$または$Y=O$である.ただし,$O$は$2$次の零行列を表す.
(ⅲ) $A$を逆行列$A^{-1}$をもつ$2$次の正方行列とする.このとき,$AX=Y$ならば,$X=YA^{-1}$である.
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