愛媛大学
2014年 理学部・工学部 第4問
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![a,bは,0<b<aを満たす実数とする.曲線y=e^x上の点(0,1)における接線ℓ_1の方程式をy=f(x),点(a,e^a)における接線ℓ_2の方程式をy=g(x)とおく.また,ℓ_1とℓ_2の交点のx座標をp(a)とする.連立不等式0≦x≦b,f(x)≦y≦e^xの表す領域の面積をS_1,連立不等式b≦x≦a,g(x)≦y≦e^xの表す領域の面積をS_2とし,R=e^{-b}S_2とおく.このとき,次の問いに答えよ.必要ならば,すべての自然数kに対して\lim_{x→∞}x^ke^{-x}=0が成り立つことを用いてよい.(1)p(a)を求めよ.(2)S_1とS_2を求めよ.(3)t=a-bとする.Rをtのみの関数として表せ.(4)極限値\lim_{a→∞}(a-p(a))を求めよ.(5)b=p(a)とする.このとき,極限値\lim_{a→∞}\frac{S_2}{S_1}を求めよ.](./thumb/669/2883/2014_4.png)
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$a,\ b$は,$0<b<a$を満たす実数とする.曲線$y=e^x$上の点$(0,\ 1)$における接線$\ell_1$の方程式を$y=f(x)$,点$(a,\ e^a)$における接線$\ell_2$の方程式を$y=g(x)$とおく.また,$\ell_1$と$\ell_2$の交点の$x$座標を$p(a)$とする.連立不等式
\[ 0 \leqq x \leqq b,\quad f(x) \leqq y \leqq e^x \]
の表す領域の面積を$S_1$,連立不等式
\[ b \leqq x \leqq a,\quad g(x) \leqq y \leqq e^x \]
の表す領域の面積を$S_2$とし,$R=e^{-b}S_2$とおく.このとき,次の問いに答えよ.必要ならば,すべての自然数$k$に対して$\displaystyle \lim_{x \to \infty} x^ke^{-x}=0$が成り立つことを用いてよい.
(1) $p(a)$を求めよ.
(2) $S_1$と$S_2$を求めよ.
(3) $t=a-b$とする.$R$を$t$のみの関数として表せ.
(4) 極限値$\displaystyle \lim_{a \to \infty} (a-p(a))$を求めよ.
(5) $b=p(a)$とする.このとき,極限値$\displaystyle \lim_{a \to \infty} \frac{S_2}{S_1}$を求めよ.
(1) $p(a)$を求めよ.
(2) $S_1$と$S_2$を求めよ.
(3) $t=a-b$とする.$R$を$t$のみの関数として表せ.
(4) 極限値$\displaystyle \lim_{a \to \infty} (a-p(a))$を求めよ.
(5) $b=p(a)$とする.このとき,極限値$\displaystyle \lim_{a \to \infty} \frac{S_2}{S_1}$を求めよ.
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![](./thumb/177/2319/2016_3s.png)
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