高知工科大学
2011年 文系 第4問
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次の各問に答えよ.
(1) $x>0$のとき,不等式$\displaystyle e^x>1+x+\frac{x^2}{2}$が成り立つことを証明せよ.
(2) $\displaystyle \lim_{x \to \infty} xe^{-x}=0$を証明せよ.
(3) 関数$y=xe^{-x}$の増減・凹凸を調べ,そのグラフを描け.
(4) $n$を自然数とする.$\displaystyle I_n=\int_0^n xe^{-x}\, dx$を計算し,$\displaystyle \lim_{n \to \infty}I_n$を求めよ.
(1) $x>0$のとき,不等式$\displaystyle e^x>1+x+\frac{x^2}{2}$が成り立つことを証明せよ.
(2) $\displaystyle \lim_{x \to \infty} xe^{-x}=0$を証明せよ.
(3) 関数$y=xe^{-x}$の増減・凹凸を調べ,そのグラフを描け.
(4) $n$を自然数とする.$\displaystyle I_n=\int_0^n xe^{-x}\, dx$を計算し,$\displaystyle \lim_{n \to \infty}I_n$を求めよ.
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