愛知県立大学
2014年 理系 第4問
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![座標平面上に点P(x,y),点F(1,0),点F´(-1,0),および直線ℓ:x=2がある.点Pから直線ℓに下ろした垂線をPHとする.また,点Pと点F,F´,Hとの距離を,それぞれPF,PF´,PHとし,原点Oと点Pの距離をrとする.比PF/PHの値が\frac{1}{√2}となる点Pの軌跡をCとするとき,以下の問いに答えよ.(1)Cの方程式を求めよ.(2)PF+PF´は定数となる.その値を求めよ.(3)PF・PF´をrを用いて表せ.(4)点Pは第1象限にあり,∠F´PF=π/3とする.このとき,rの値と点Pの座標を求めよ.また,C上の求めた点Pにおける接線の方程式を求めよ.](./thumb/413/2579/2014_4.png)
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座標平面上に点$\mathrm{P}(x,\ y)$,点$\mathrm{F}(1,\ 0)$,点$\mathrm{F}^\prime(-1,\ 0)$,および直線$\ell:x=2$がある.点$\mathrm{P}$から直線$\ell$に下ろした垂線を$\mathrm{PH}$とする.また,点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{F}$,$\mathrm{F}^\prime$,$\mathrm{H}$との距離を,それぞれ$\mathrm{PF}$,$\mathrm{PF}^\prime$,$\mathrm{PH}$とし,原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{P}$の距離を$r$とする.比$\displaystyle \frac{\mathrm{PF}}{\mathrm{PH}}$の値が$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$となる点$\mathrm{P}$の軌跡を$C$とするとき,以下の問いに答えよ.
(1) $C$の方程式を求めよ.
(2) $\mathrm{PF}+\mathrm{PF}^\prime$は定数となる.その値を求めよ.
(3) $\mathrm{PF} \cdot \mathrm{PF}^\prime$を$r$を用いて表せ.
(4) 点$\mathrm{P}$は第$1$象限にあり,$\displaystyle \angle \mathrm{F}^\prime \mathrm{PF}=\frac{\pi}{3}$とする.このとき,$r$の値と点$\mathrm{P}$の座標を求めよ.また,$C$上の求めた点$\mathrm{P}$における接線の方程式を求めよ.
(1) $C$の方程式を求めよ.
(2) $\mathrm{PF}+\mathrm{PF}^\prime$は定数となる.その値を求めよ.
(3) $\mathrm{PF} \cdot \mathrm{PF}^\prime$を$r$を用いて表せ.
(4) 点$\mathrm{P}$は第$1$象限にあり,$\displaystyle \angle \mathrm{F}^\prime \mathrm{PF}=\frac{\pi}{3}$とする.このとき,$r$の値と点$\mathrm{P}$の座標を求めよ.また,$C$上の求めた点$\mathrm{P}$における接線の方程式を求めよ.
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