愛知県立大学
2011年 理系 第4問
4
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実数を成分に持つ行列$A=\biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
b & a
\end{array} \biggr)$とベクトル$P=\biggl( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \biggr),\ Q=\biggl( \begin{array}{c}
z \\
w
\end{array} \biggr)$について，以下の問いに答えよ．ただし，$b \neq 0$とする．
(1) $\displaystyle x=\frac{\sqrt{2}}{2}$のとき，$AP=\alpha P$と$y>0$を満たす$\alpha$と$y$を求めよ．
(2) 次の3条件を満たす$\beta,\ z,\ w$を求めよ． \[ AQ=\beta Q,\quad z^2+w^2=1,\quad z<w \]
(3) (1)と(2)で定められた$\alpha,\ \beta,\ x,\ y,\ z,\ w$を用いて，次式を計算せよ． \[ \alpha \biggl( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \biggr) ( \begin{array}{cc} x & y \end{array} ) +\beta \biggl( \begin{array}{c} z \\ w \end{array} \biggr) ( \begin{array}{cc} z & w \end{array} ) \]
(4) (3)の結果を用いて，$A^n$を求めよ．ただし，$n$は1以上の自然数とする．
(1) $\displaystyle x=\frac{\sqrt{2}}{2}$のとき，$AP=\alpha P$と$y>0$を満たす$\alpha$と$y$を求めよ．
(2) 次の3条件を満たす$\beta,\ z,\ w$を求めよ． \[ AQ=\beta Q,\quad z^2+w^2=1,\quad z<w \]
(3) (1)と(2)で定められた$\alpha,\ \beta,\ x,\ y,\ z,\ w$を用いて，次式を計算せよ． \[ \alpha \biggl( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \biggr) ( \begin{array}{cc} x & y \end{array} ) +\beta \biggl( \begin{array}{c} z \\ w \end{array} \biggr) ( \begin{array}{cc} z & w \end{array} ) \]
(4) (3)の結果を用いて，$A^n$を求めよ．ただし，$n$は1以上の自然数とする．
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