以下の問いに答えよ．
(1) 定積分$\displaystyle \int_0^\pi \cos mx \cos nx \, dx$を求めよ．ただし，$m,\ n$は自然数とする．
(2) $a$と$b$を$a<b$を満たす実数とし，$f(x)$と$g(x)$を区間$[a,\ b]$で定義された連続な関数とする．また， \[ \int_a^b \{f(x)\}^2 \, dx \neq 0,\quad \int_a^b \{g(x)\}^2 \, dx \neq 0 \] であるとする．このとき，任意の実数$t$に対して \[ \int_a^b \{tf(x)+g(x)\}^2 \, dx \geqq 0 \] が成り立つことを用いて，次の不等式が成り立つことを示せ． \[ \left\{ \int_a^b f(x)g(x) \, dx \right\}^2 \leqq \left( \int_a^b \{f(x)\}^2 \, dx \right) \left( \int_a^b \{g(x)\}^2 \, dx \right) \] また，等号が成り立つ条件は，$k$を定数として$g(x)=kf(x)$と表せるときであることを示せ．
(3) $f(x)$は区間$[-\pi,\ \pi]$で定義された連続な関数で$\displaystyle \int_{-\pi}^\pi \{f(x)\}^2 \, dx=1$を満たす．このとき， \[ I=\int_{-\pi}^\pi f(x) \cos 2x \, dx \] を最大とする$f(x)$とそのときの$I$の値を求めよ．