$1$から$5$までの$5$つの自然数のうち，いずれかの$1$つの数字が確率的に表示される$3$つの装置$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$がある．各装置$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$で数字$n \ \ (1 \leqq n \leqq 5)$が表示される確率をそれぞれ$P_{\mathrm{A}}(n)$，$P_{\mathrm{B}}(n)$，$P_{\mathrm{C}}(n)$とし， \[ \sum_{n=1}^5 P_{\mathrm{A}}(n)=\sum_{n=1}^5 P_{\mathrm{B}}(n)=\sum_{n=1}^5 P_{\mathrm{C}}(n)=1 \] が成り立っている．$a,\ b,\ c,\ k$を実数とし，$f(n)={2}^{{-(n-3)}^2}$とするとき，以下の問いに答えよ．
(1) $P_{\mathrm{A}}(n)=a \cdot f(n)$であるとき，装置$\mathrm{A}$で各数字が表示される確率と，表示される数字の期待値を求めよ．
(2) $P_{\mathrm{B}}(n)={2}^{-2n+5} \cdot b \cdot f(n)$であるとき，装置$\mathrm{B}$と$(1)$で確率を求めた装置$\mathrm{A}$の表示が，両方とも偶数である確率を求めよ．
(3) $P_{\mathrm{C}}(n)={2}^{-{n}^2+kn} \cdot c \cdot f(n)$であり，$(1)$の$P_{\mathrm{A}}(n)$が最大となるときの$n$を$m$とする．このとき，$P_{\mathrm{C}}(n)$が最大となる$n$と$m$が等しくなる$k$の範囲を求めよ．