$a$を$a>2$を満たす実数とし， \[ f(t)=\frac{\sin^2 at+t^2}{at \sin at},\quad g(t)=\frac{\sin^2 at-t^2}{at \sin at} \quad \left( 0<|t|<\frac{\pi}{2a} \right) \] とする．また，$C$を曲線$\displaystyle x^2-y^2=\frac{4}{a^2} \ \ \left( x \geqq \frac{2}{a} \right)$とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1) 点$(f(t),\ g(t))$は，曲線$C$上の点であることを示せ．
(2) 点$\displaystyle \left( \lim_{t \to 0}f(t),\ \lim_{t \to 0}g(t) \right)$における曲線$C$の法線の方程式を求めよ．
(3) 曲線$C$と(2)で求めた法線および$x$軸とで囲まれた部分を，$x$軸のまわりに$1$回転させてできる回転体の体積を$V(a)$とする．$V(a)$を$a$を用いて表せ．また，$\displaystyle \lim_{a \to \infty}V(a)$を求めよ．