埼玉大学
2014年 理学部 第1問
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$p$を素数とする.以下の問いに答えよ.
(1) $1 \leqq r \leqq p-1$を満たす自然数$r$に対し,$\comb{p}{r}$は$p$で割り切れることを示せ.ただし,$\comb{p}{r}$は$p$個から$r$個とる組合せの総数を表すものとする.
(2) $1 \leqq s \leqq q-1$を満たす自然数の組$(q,\ s)$であって,$\comb{q}{s}$が$q$で割り切れないものを$1$組あげよ.
(3) 自然数$m,\ n$に対し,$(m+n)^p-(m^p+n^p)$が$p$で割り切れることを示せ.
(4) 自然数$n$に対し,$n^p-n$は$p$で割り切れることを,$n$に関する数学的帰納法を用いて証明せよ.
(1) $1 \leqq r \leqq p-1$を満たす自然数$r$に対し,$\comb{p}{r}$は$p$で割り切れることを示せ.ただし,$\comb{p}{r}$は$p$個から$r$個とる組合せの総数を表すものとする.
(2) $1 \leqq s \leqq q-1$を満たす自然数の組$(q,\ s)$であって,$\comb{q}{s}$が$q$で割り切れないものを$1$組あげよ.
(3) 自然数$m,\ n$に対し,$(m+n)^p-(m^p+n^p)$が$p$で割り切れることを示せ.
(4) 自然数$n$に対し,$n^p-n$は$p$で割り切れることを,$n$に関する数学的帰納法を用いて証明せよ.
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