電気通信大学
2015年 理系 第3問
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次の関数$f(x),\ g(x)$に対して,以下の問いに答えよ.ただし,$\log x$は$e$を底とする自然対数を表す.
\[ f(x)=\frac{x+1}{\sqrt{x^2+1}},\quad g(x)=\log (x+\sqrt{x^2+1}) \]
(1) 極限値$\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x),\ \lim_{x \to -\infty} f(x)$をそれぞれ求めよ.
(2) 導関数$f^\prime(x)$を求め,関数$f(x)$の増減を調べよ.さらに,$f(x)$の最大値を求めよ.
(3) 次の方程式がただ$1$つの実数解を持つような定数$m$の条件を求めよ. \[ m \sqrt{x^2+1}=x+1 \]
(4) 導関数$g^\prime(x)$を求めよ.さらに,$xy$平面上において,曲線$y=f(x)$,$x$軸および$y$軸で囲まれた図形を$D$とする.図形$D$の面積$S$を求めよ.
(5) 図形$D$を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積$V$を求めよ.
(1) 極限値$\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x),\ \lim_{x \to -\infty} f(x)$をそれぞれ求めよ.
(2) 導関数$f^\prime(x)$を求め,関数$f(x)$の増減を調べよ.さらに,$f(x)$の最大値を求めよ.
(3) 次の方程式がただ$1$つの実数解を持つような定数$m$の条件を求めよ. \[ m \sqrt{x^2+1}=x+1 \]
(4) 導関数$g^\prime(x)$を求めよ.さらに,$xy$平面上において,曲線$y=f(x)$,$x$軸および$y$軸で囲まれた図形を$D$とする.図形$D$の面積$S$を求めよ.
(5) 図形$D$を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積$V$を求めよ.
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