豊橋技術科学大学
2010年 工学部 第2問
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![図に示す点Oを原点とする直交座標空間に点P(1,0,0)をとる.点Pを,xy平面内で原点Oを中心として図に示す矢印の方向に角度θ回転させた位置に点Qをとる.さらに,点Qおよびz軸を含む平面内で,点Oを中心として点Qを矢印の方向に角度θ回転させた位置に点Rをとる.ただし,角度θの範囲は0≦θ≦π/2とする.以下の問いに答えよ.(プレビューでは図は省略します)(1)点Rの座標(x_R,y_R,z_R)を,角度θを用いて表せ.(2)∠ORP=π/3であるとき,角度θの値を求めよ.(3)点Rから平面x+y=0に下ろした垂線の長さlを,角度θの関数で表せ.(4)(3)で求めた垂線の長さlが最大となるときの角度θの値とそのときのlの値を求めよ.](./thumb/410/1079/2010_2.png)
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図に示す点$\mathrm{O}$を原点とする直交座標空間に点$\mathrm{P}(1,\ 0,\ 0)$をとる.点$\mathrm{P}$を,$xy$平面内で原点$\mathrm{O}$を中心として図に示す矢印の方向に角度$\theta$回転させた位置に点$\mathrm{Q}$をとる.さらに,点$\mathrm{Q}$および$z$軸を含む平面内で,点$\mathrm{O}$を中心として点$\mathrm{Q}$を矢印の方向に角度$\theta$回転させた位置に点$\mathrm{R}$をとる.ただし,角度$\theta$の範囲は$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$とする.以下の問いに答えよ.
\imgc{410_1079_2010_1}
(1) 点$\mathrm{R}$の座標$(x_\mathrm{R},\ y_\mathrm{R},\ z_\mathrm{R})$を,角度$\theta$を用いて表せ.
(2) $\displaystyle \angle \mathrm{ORP}=\frac{\pi}{3}$であるとき,角度$\theta$の値を求めよ.
(3) 点$\mathrm{R}$から平面$x+y=0$に下ろした垂線の長さ$l$を,角度$\theta$の関数で表せ.
(4) (3)で求めた垂線の長さ$l$が最大となるときの角度$\theta$の値とそのときの$l$の値を求めよ.
(1) 点$\mathrm{R}$の座標$(x_\mathrm{R},\ y_\mathrm{R},\ z_\mathrm{R})$を,角度$\theta$を用いて表せ.
(2) $\displaystyle \angle \mathrm{ORP}=\frac{\pi}{3}$であるとき,角度$\theta$の値を求めよ.
(3) 点$\mathrm{R}$から平面$x+y=0$に下ろした垂線の長さ$l$を,角度$\theta$の関数で表せ.
(4) (3)で求めた垂線の長さ$l$が最大となるときの角度$\theta$の値とそのときの$l$の値を求めよ.
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