山形大学
2013年 医学部 第1問
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面積が$1$である$\triangle \mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{D}$があり,辺$\mathrm{CA}$上に点$\mathrm{E}$があり,辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{F}$がある.正の実数$x,\ y,\ z,\ w$を$\mathrm{AF}:\mathrm{FB}=x:y$,$\mathrm{BD}:\mathrm{DC}=y:z$,$\mathrm{CE}:\mathrm{EA}=z:w$となるように定める.線分$\mathrm{AD}$,$\mathrm{BE}$,$\mathrm{CF}$が$\triangle \mathrm{ABC}$の内部の点$\mathrm{G}$で交わるとき,次の問に答えよ.
(1) 三角形の面積の比を用いて,$\displaystyle \frac{x}{y} \cdot \frac{y}{z} \cdot \frac{z}{w}=1$となることを示せ.
(2) $\triangle \mathrm{AFE}$の面積を$x,\ y,\ z$を用いて表せ.
(3) $\displaystyle \alpha=\frac{x}{y},\ \beta=\frac{y}{z}$とする.このとき,$\triangle \mathrm{DEF}$の面積を$\alpha,\ \beta$を用いて表せ.
(4) $\triangle \mathrm{DEF}$の面積が最大となるのは,点$\mathrm{D}$,$\mathrm{E}$,$\mathrm{F}$が各辺の中点となるときであることを示せ.
(1) 三角形の面積の比を用いて,$\displaystyle \frac{x}{y} \cdot \frac{y}{z} \cdot \frac{z}{w}=1$となることを示せ.
(2) $\triangle \mathrm{AFE}$の面積を$x,\ y,\ z$を用いて表せ.
(3) $\displaystyle \alpha=\frac{x}{y},\ \beta=\frac{y}{z}$とする.このとき,$\triangle \mathrm{DEF}$の面積を$\alpha,\ \beta$を用いて表せ.
(4) $\triangle \mathrm{DEF}$の面積が最大となるのは,点$\mathrm{D}$,$\mathrm{E}$,$\mathrm{F}$が各辺の中点となるときであることを示せ.
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