昭和大学
2013年 医学部 第2問
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![2つの2次曲線C_1:y=x^2,C_2:y^2=xがある.次の各問に答えよ.(1)C_1,C_2のいずれにも接する直線の方程式を求めよ.(2)C_1上の点P(p,p^2)を通る直線でC_2と接するものがちょうど2本引けるようなpのとり得る値の範囲を求めよ.(3)C_1上の点P(p,p^2)を通る直線でC_2と接するものがちょうど2本引け,さらにその2本の接線がいずれもC_1とP以外の点でも交わるとする.このようなpのとり得る値の範囲を求めよ.(4)C_1上の相異なる2点Q_1(q_1,{q_1}^2),Q_2(q_2,{q_2}^2)について,直線Q_1Q_2がC_2と接するための条件を求めよ.(5)C_1上の点P(p,p^2)を通る直線でC_2と接するものがちょうど2本引け,さらにその2本の接線がいずれもC_1とP以外の点でも交わるとする.いま,その2本の接線とC_1との交点のうち,P以外の交点をそれぞれQ_1およびQ_2とする.このとき,直線Q_1Q_2は再びC_2と接することを示せ.](./thumb/213/2153/2013_2.png)
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$2$つの$2$次曲線$C_1:y=x^2$,$C_2:y^2=x$がある.次の各問に答えよ.
(1) $C_1$,$C_2$のいずれにも接する直線の方程式を求めよ.
(2) $C_1$上の点$\mathrm{P}(p,\ p^2)$を通る直線で$C_2$と接するものがちょうど$2$本引けるような$p$のとり得る値の範囲を求めよ.
(3) $C_1$上の点$\mathrm{P}(p,\ p^2)$を通る直線で$C_2$と接するものがちょうど$2$本引け,さらにその$2$本の接線がいずれも$C_1$と$\mathrm{P}$以外の点でも交わるとする.このような$p$のとり得る値の範囲を求めよ.
(4) $C_1$上の相異なる$2$点$\mathrm{Q}_1(q_1,\ {q_1}^2)$,$\mathrm{Q}_2(q_2,\ {q_2}^2)$について,直線$\mathrm{Q}_1 \mathrm{Q}_2$が$C_2$と接するための条件を求めよ.
(5) $C_1$上の点$\mathrm{P}(p,\ p^2)$を通る直線で$C_2$と接するものがちょうど$2$本引け,さらにその$2$本の接線がいずれも$C_1$と$\mathrm{P}$以外の点でも交わるとする.いま,その$2$本の接線と$C_1$との交点のうち,$\mathrm{P}$以外の交点をそれぞれ$\mathrm{Q}_1$および$\mathrm{Q}_2$とする.このとき,直線$\mathrm{Q}_1 \mathrm{Q}_2$は再び$C_2$と接することを示せ.
(1) $C_1$,$C_2$のいずれにも接する直線の方程式を求めよ.
(2) $C_1$上の点$\mathrm{P}(p,\ p^2)$を通る直線で$C_2$と接するものがちょうど$2$本引けるような$p$のとり得る値の範囲を求めよ.
(3) $C_1$上の点$\mathrm{P}(p,\ p^2)$を通る直線で$C_2$と接するものがちょうど$2$本引け,さらにその$2$本の接線がいずれも$C_1$と$\mathrm{P}$以外の点でも交わるとする.このような$p$のとり得る値の範囲を求めよ.
(4) $C_1$上の相異なる$2$点$\mathrm{Q}_1(q_1,\ {q_1}^2)$,$\mathrm{Q}_2(q_2,\ {q_2}^2)$について,直線$\mathrm{Q}_1 \mathrm{Q}_2$が$C_2$と接するための条件を求めよ.
(5) $C_1$上の点$\mathrm{P}(p,\ p^2)$を通る直線で$C_2$と接するものがちょうど$2$本引け,さらにその$2$本の接線がいずれも$C_1$と$\mathrm{P}$以外の点でも交わるとする.いま,その$2$本の接線と$C_1$との交点のうち,$\mathrm{P}$以外の交点をそれぞれ$\mathrm{Q}_1$および$\mathrm{Q}_2$とする.このとき,直線$\mathrm{Q}_1 \mathrm{Q}_2$は再び$C_2$と接することを示せ.
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