南山大学
2011年 外国語学部 第2問
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![座標平面上に放物線C:y=x^2と4点P(p,p^2),Q(-p,p^2),R(-p,p^2+2p),S(p,p^2+2p)がある.また,3次関数y=f(x)はx=-pで極小値p^2,x=pで極大値p^2+2pをとる.ただし,p>0とする.(1)Cと線分PQで囲まれた部分の面積と正方形PQRSの面積が等しくなるpの値を求めよ.(2)f(x)をpで表せ.(3)PにおけるCの接線をℓとする.曲線y=f(x)上の点(a,f(a))における接線がℓと垂直になるとき,aをpで表せ.](./thumb/451/1215/2011_2.png)
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座標平面上に放物線$C:y=x^2$と$4$点$\mathrm{P}(p,\ p^2)$,$\mathrm{Q}(-p,\ p^2)$,$\mathrm{R}(-p,\ p^2+2p)$,$\mathrm{S}(p,\ p^2+2p)$がある.また,$3$次関数$y=f(x)$は$x=-p$で極小値$p^2$,$x=p$で極大値$p^2+2p$をとる.ただし,$p>0$とする.
(1) $C$と線分$\mathrm{PQ}$で囲まれた部分の面積と正方形$\mathrm{PQRS}$の面積が等しくなる$p$の値を求めよ.
(2) $f(x)$を$p$で表せ.
(3) $\mathrm{P}$における$C$の接線を$\ell$とする.曲線$y=f(x)$上の点$(a,\ f(a))$における接線が$\ell$と垂直になるとき,$a$を$p$で表せ.
(1) $C$と線分$\mathrm{PQ}$で囲まれた部分の面積と正方形$\mathrm{PQRS}$の面積が等しくなる$p$の値を求めよ.
(2) $f(x)$を$p$で表せ.
(3) $\mathrm{P}$における$C$の接線を$\ell$とする.曲線$y=f(x)$上の点$(a,\ f(a))$における接線が$\ell$と垂直になるとき,$a$を$p$で表せ.
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