慶應義塾大学
2015年 経済学部 第2問
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硬貨を$1$枚投げて表が出れば$\mathrm{A}$に$1$点,裏が出れば$\mathrm{B}$に$1$点を与えることを繰り返す.硬貨を$5$回投げ終わった時点で$\mathrm{A}$の得点は$3$点,$\mathrm{B}$の得点は$2$点であった.なお,硬貨は表裏が等しい確率で出るものとする.
(1) $6$回目以降,$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$のどちらかが$5$点を取るまでの各回の得点の与え方を樹形図で表すと,その場合の数は$\fbox{$11$}\fbox{$12$}$通りであることがわかる.そして,$\mathrm{A}$が$\mathrm{B}$より先に$5$点を取る確率は$\displaystyle \frac{\fbox{$13$}\fbox{$14$}}{\fbox{$15$}\fbox{$16$}}$である.
(2) $6$回目以降の各回の得点の与え方を次のように変更する.$\mathrm{A}$は$1,\ 3,\ 5$と書かれたカードがそれぞれ$1$枚ずつ入った袋から,$\mathrm{B}$は$2,\ 4$と書かれたカードが$1$枚ずつ入った袋から,中を見ずに$1$枚取り出し,大きい数字の書かれたカードを取り出した方に$1$点を与える.このとき,各回ごとに$\mathrm{A}$が得点する確率は$\displaystyle \frac{\fbox{$17$}}{\fbox{$18$}}$であり,$\mathrm{A}$が先に$5$点を取る確率は$\displaystyle \frac{\fbox{$19$}\fbox{$20$}}{\fbox{$21$}\fbox{$22$}}$である.
(3) $6$回目以降について,$\mathrm{A}$の袋は$(2)$と同じとし,$\mathrm{B}$の袋には$6$と書かれたカードを$1$枚追加して,$(2)$と同様に各回の得点の与え方を定める.このとき$\mathrm{A}$が先に$5$点を取る確率は$\displaystyle \frac{\fbox{$23$}\fbox{$24$}}{\fbox{$25$}\fbox{$26$}}$である.
(1) $6$回目以降,$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$のどちらかが$5$点を取るまでの各回の得点の与え方を樹形図で表すと,その場合の数は$\fbox{$11$}\fbox{$12$}$通りであることがわかる.そして,$\mathrm{A}$が$\mathrm{B}$より先に$5$点を取る確率は$\displaystyle \frac{\fbox{$13$}\fbox{$14$}}{\fbox{$15$}\fbox{$16$}}$である.
(2) $6$回目以降の各回の得点の与え方を次のように変更する.$\mathrm{A}$は$1,\ 3,\ 5$と書かれたカードがそれぞれ$1$枚ずつ入った袋から,$\mathrm{B}$は$2,\ 4$と書かれたカードが$1$枚ずつ入った袋から,中を見ずに$1$枚取り出し,大きい数字の書かれたカードを取り出した方に$1$点を与える.このとき,各回ごとに$\mathrm{A}$が得点する確率は$\displaystyle \frac{\fbox{$17$}}{\fbox{$18$}}$であり,$\mathrm{A}$が先に$5$点を取る確率は$\displaystyle \frac{\fbox{$19$}\fbox{$20$}}{\fbox{$21$}\fbox{$22$}}$である.
(3) $6$回目以降について,$\mathrm{A}$の袋は$(2)$と同じとし,$\mathrm{B}$の袋には$6$と書かれたカードを$1$枚追加して,$(2)$と同様に各回の得点の与え方を定める.このとき$\mathrm{A}$が先に$5$点を取る確率は$\displaystyle \frac{\fbox{$23$}\fbox{$24$}}{\fbox{$25$}\fbox{$26$}}$である.
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