広島大学
2013年 文系 第5問
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座標平面上の点で,$x$座標と$y$座標がともに整数である点を格子点という.$n$を$3$以上の自然数とし,連立不等式
\[ x \geqq 0,\quad y \geqq 0,\quad x+y \leqq n \]
の表す領域を$D$とする.格子点$\mathrm{A}(a,\ b)$に対して,領域$D$内の格子点$\mathrm{B}(c,\ d)$が$|a-c|+|b-d|=1$を満たすとき,点$\mathrm{B}$を点$\mathrm{A}$の隣接点という.次の問いに答えよ.
(1) 点$\mathrm{O}(0,\ 0)$の隣接点をすべて求めよ.また,領域$D$内の格子点$\mathrm{P}$が直線$x+y=n$上にあるとき,$\mathrm{P}$の隣接点の個数を求めよ.
(2) 領域$D$内の格子点のうち隣接点の個数が$4$であるものの個数を求めよ.
(3) 領域$D$から格子点を$1$つ選ぶとき,隣接点の個数の期待値が$3$以上となるような$n$の範囲を求めよ.ただし,格子点の選ばれ方は同様に確からしいものとする.
(1) 点$\mathrm{O}(0,\ 0)$の隣接点をすべて求めよ.また,領域$D$内の格子点$\mathrm{P}$が直線$x+y=n$上にあるとき,$\mathrm{P}$の隣接点の個数を求めよ.
(2) 領域$D$内の格子点のうち隣接点の個数が$4$であるものの個数を求めよ.
(3) 領域$D$から格子点を$1$つ選ぶとき,隣接点の個数の期待値が$3$以上となるような$n$の範囲を求めよ.ただし,格子点の選ばれ方は同様に確からしいものとする.
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