千葉大学
2015年 理学部(物・化・生・地)・薬・工・先進(物・電・ナ・画・情) 第4問
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![0以上の整数nに対して,整式T_n(x)をT_0(x)=1,T_1(x)=x,T_n(x)=2xT_{n-1}(x)-T_{n-2}(x)(n=2,3,4,・・・)で定める.このとき,以下の問いに答えよ.(1)0以上の任意の整数nに対してcos(nθ)=T_n(cosθ)となることを示せ.(2)定積分∫_{-1}^1T_n(x)dxの値を求めよ.](./thumb/146/3176/2015_4.png)
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$0$以上の整数$n$に対して,整式$T_n(x)$を
\[ T_0(x)=1,\quad T_1(x)=x,\quad T_n(x)=2xT_{n-1}(x)-T_{n-2}(x) \quad (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots) \]
で定める.このとき,以下の問いに答えよ.
(1) $0$以上の任意の整数$n$に対して \[ \cos (n\theta)=T_n(\cos \theta) \] となることを示せ.
(2) 定積分 \[ \int_{-1}^1 T_n(x) \, dx \] の値を求めよ.
(1) $0$以上の任意の整数$n$に対して \[ \cos (n\theta)=T_n(\cos \theta) \] となることを示せ.
(2) 定積分 \[ \int_{-1}^1 T_n(x) \, dx \] の値を求めよ.
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