防衛医科大学校
2015年 医学部 第4問
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![関数f_1(x)=\frac{2}{1+e^x},logf_2(x)=1/2∫_0^xf_1(t)dt,logf_3(x)=-1/2∫_0^xf_2(t)dt,logf_4(x)=1/2∫_0^xf_3(t)dt,・・・,logf_k(x)=\frac{{(-1)}^k}{2}∫_0^xf_{k-1}(t)dt(k=2,3,4,・・・)とする.ただし,logは自然対数である.また,g_k(x)=f_k(x)×\frac{xsinx}{4-cos^2x}(k=1,2,3,・・・)とする.さらに,I_n=Σ_{k=1}^{2n+1}∫_{-π}^{π}g_k(x)dx(n=1,2,3,・・・),J=∫_0^{π}\frac{xsinx}{4-cos^2x}dx,K=∫_0^{π}\frac{sinx}{4-cos^2x}dxとする.このとき,以下の問に答えよ.(1)f_k(x)を積分を使わずに表せ(k=2,3,4,・・・).(2)I_nをJで表せ(n=1,2,3,・・・).(3)JをKで表せ.(4)I_nを求めよ(n=1,2,3,・・・).](./thumb/145/0/2015_4.png)
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関数$\displaystyle f_1(x)=\frac{2}{1+e^x}$,$\displaystyle \log f_2(x)=\frac{1}{2}\int_0^x f_1(t) \, dt$,$\displaystyle \log f_3(x)=-\frac{1}{2}\int_0^x f_2(t) \, dt$,$\displaystyle \log f_4(x)=\frac{1}{2}\int_0^x f_3(t) \, dt$,$\cdots$,
\[ \log f_k(x)=\frac{{(-1)}^k}{2}\int_0^x f_{k-1}(t) \, dt \quad (k=2,\ 3,\ 4,\ \cdots) \]
とする.ただし,$\log$は自然対数である.また,
\[ g_k(x)=f_k(x) \times \frac{x \sin x}{4-\cos^2 x} \quad (k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
とする.さらに,
$\displaystyle I_n=\sum_{k=1}^{2n+1} \int_{-\pi}^{\pi} g_k(x) \, dx \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$,
$\displaystyle J=\int_0^{\pi} \frac{x \sin x}{4-\cos^2 x} \, dx$,
$\displaystyle K=\int_0^{\pi} \frac{\sin x}{4-\cos^2 x} \, dx$
とする.このとき,以下の問に答えよ.
(1) $f_k(x)$を積分を使わずに表せ($k=2,\ 3,\ 4,\ \cdots$).
(2) $I_n$を$J$で表せ($n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$).
(3) $J$を$K$で表せ.
(4) $I_n$を求めよ($n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$).
$\displaystyle I_n=\sum_{k=1}^{2n+1} \int_{-\pi}^{\pi} g_k(x) \, dx \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$,
$\displaystyle J=\int_0^{\pi} \frac{x \sin x}{4-\cos^2 x} \, dx$,
$\displaystyle K=\int_0^{\pi} \frac{\sin x}{4-\cos^2 x} \, dx$
とする.このとき,以下の問に答えよ.
(1) $f_k(x)$を積分を使わずに表せ($k=2,\ 3,\ 4,\ \cdots$).
(2) $I_n$を$J$で表せ($n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$).
(3) $J$を$K$で表せ.
(4) $I_n$を求めよ($n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$).
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